Analisis Nodal

Analisis nodal berhubungan dengan sumber arus dan konduktansi. Persamaan nodal dituliskan dengan menggunakan Hukum Kirchoff arus.

Analisis nodal dapat dipergunakan pada jaringan jika :

a.       Nilai-nilai tegangan diketahui.

b.      Terdapat dua atau lebih sumber energi.

c.       Sumber energi adalah merupakan sumber arus.

Langkah pertama pada analisis nodal adalah mengidentifikasi node-node. Node adalah junction atau titik hubung dari tiga atau lebih konduktor.

Gambar 4.4 Merupakan sebuah jaringan ∏ yang dihubungkan dengan dua buah sumber arus.

Gbr. 4.4 Pengidentifikasi node-node.

Pada rangkaian gambar 4.4, terdapat tiga buah node yang terpisah. Node A merupakan junction dari empat konduktor, hubungan bawah kedua sumber dan elemen.

Node B merupakan junction dari tiga konduktor yang terhubung pada sumber arus ke elemen-elemen.  Demikian juga halnya dengan node C.

Node referensi dapat dipilih secara bebas, node manapun dapat dibuat sebagai node referensi.

Semua node –node selain node referensi disebut node-node independent. Jika line A dalam gambar 4.4 dipilih sebagai node referensi, titik B dan C adalah node-node independent. Tegangan pada node-node independent terhadap node referensi, adalah V_B dan V_C dalam gambar 4.5.

Menulis Persamaan Node

Ada beberapa prosedur dalam penulisan persamaan untuk node. Istilah ‘local node’ digunakan pada node yang mana persamaan dituliskan. Istilah ‘Remote node’ merupakan node yang terhubung ke local node melalui konduktansi.

·         Elemen Arus

1.      Letakkan pada sisi kiri persamaan arus pada konduktansi.

2.      Kalikan tegangan local node ( terhadap referensi ) dengan jumlah konduktansi – konduktansi yang terhubung ke node. Hasilnya adalah positif. Abaikan elemen-elemen yang terhubung seri dengan sumber arus, karena tidak mempengaruhi arus rangkaian.

3.      Kalikan masing-masing tegangan remote node dengan elemen konduktansi yang menghubungkannya ke local node. Hasilnya adalah negatif.

·         Sumber Arus

1.      Letakkan sumber arus pada sisi kanan persamaan.

2.      Tentukan arus yang menuju local node adalah positif.

3.      Tentukan arus yang meninggalkan local node adalah negatif.

4.      Jika tidak ada sumber arus pada local node, tentukan sebagai nol.

Gambar 4.5 Rangkaian gambar 4.4 dengan pengidentifikasian arus dan tegangan

Untuk lebih memperjelas mengenai analisis nodal, arah arus diasumsikan dan polaritas elemen dapat ditunjukkan. Gambar 4.4 adalah sama dengan gambar 4.5, terkecuali ada penambahan arus,simbol,arah dan polaritas.

            Kondisi yang ada pada node-node independent dituliskan dalam persamaan. Persamaan-persamaan yang ada untuk node-node B dan C gambar 4.5 adalah sebagai berikut:

Ø  Pada node B

Arus I _G1 menuju ke node. Arus I ₁ dan I ₂ meninggalkan node. Persamaan untuk node B adalah:

I ₁ + I ₂ = I _G1

Semua arus, kecuali  arus generator, sekarang diekspresikan dalam Hukum Ohm.

I = V . G

Tegangan pada G ₁ adalah V _B – V _C , sebab diasumsikan dari arah arus I ₁ , kiri ke kanan sehingga V _B lebih besar dari pada V _C.

I ₁ = V ₁ G ₂ = (V_B – V_C) G ₁

I ₂ = V ₂ G ₂ = V _B G ₂

Sehingga persamaan untuk node B adalah:

(V_BV_C)G₁+V_BG₂=I_G1..............................................................................(4.1)

Ø  Pada node C

Arus I1 menuju ke node. Arus  generator  IG1 dan I3 meninggalkan node.

I₃ = V₃ G₃ = V_c G₃

Persamaan untuk node C adalah:

I_G2+I₃ = I₁

I_G2 + V_CG₃ = (V_B-V_C)G₁

Atau

V_C(G₁+G₃)–V_BG₁=I_G2………………………………………………. (4.2)

Dengan menyelesaikan persamaan (4.1) dan (4.2) akan memberikan nilai-nilai V_B dan V_C, sehingga semua besaran-besaran lain rangkaian dapat dihitung.

                  Berikut ini merupakan  gambar rangkaian dengan banyak sumber:

     Pada rangkaian gambar 4.6, jika titik (line) A merupakan node referensi, titik B,C,D dan E merupakan node-node independent.

Persamaan nodenya adalah:

Node B                 : V_B (G₂ + G₅) –V_C G₂

Node C                 : V_C (G₂ + G₃) – V_B G₂ – V_D G₃

Node D                 : V_D (G₃ + G₄ + G₆) – V_C G₃ – V_E G₄

Node E                 : V_E (G₄ + G₇) – V_D G₄

Jika pada rangkaian terdapat generator tegangan, hal ini harus dikonversikan ke generator arus yang  ekivalen.

                    

Generator arus pada gambar  4.7 (b) adalah ekivalen dengan generator tegangan dalam gambar 4.7 (a) jika:

1.      Resistansi internal Ri tiap-tiap generator adalah sama.

2.      Sumber arus I dari generator arus berhubungan dengan generator  tegangan E.

Contoh:

1.    Berapa nilai masing-masing tegangan dan arus dalam gambar rangkaian dibawah ini.

Penyelesaian :

• Pada node A

V_A(G₃+G₂) - VBG₂ = IG₁

V_A(0,2+0,1) - V_B 0,1 = 5

0,3V_A - 0,1V_B =  5       .................(1)

• Pada node B

V_B(G₂+G₄) - VBG₂ = IG₂

V_B(0,1+0,25) – V_A 0,1 = 5

0,35V_B - 0,1 V_A =  5    ..................(2)

                        Substitusi Persamaan 1 dan 2

                        0,3V_A - 0,1V_B     =  5

                        0,35V_B - 0,1 V_A =  5

            Didapatkan nilai V_A dan V_B

                                VA = 28,95 V = V3

                        VB = 36,84 V = V4

            V₂ = V_B – V_A = 36,84 – 28,95 =7,89 V

            I₂ = V₂G₂ =7,89 x 0,1 = 0,789 A

            I₃ = V_AG₃ = 28,95 x 0,2 = 5,79 A

            I₄ = V_BG₄ = 36,84 x 0,25 = 9,21 A

            I₁ = IG₁ = 5A    

                Hasil yang didapat sesuai dengan hukum kirchoff  pada ketiga node (arus masuk sama dengan arus keluar).

            Node A           : I₂G_{2 +} I_{2 =} I₃

                                                 5 A + 0,789 A = 5,79 A

            Node B           : IG₂ =  I₂  +  I₃

                                                 10 A =  0,789 A + 9,21 A

            Node Referensi : I_{3 +} I_{4 =}  IG₁ + IG₂

                                                 5,789A + 9,21 A = 5 A + 10 A